Logika
Matematika adalah
salah satu materi pokok yang diajarkan di sekolah dan universitas. Pada
pembahasan kali ini, saya akan mencoba membahas materi Logika matematika ini
dengan cara semudah-mudahnya. Untuk mempermudah Anda, saya sudah menyertakan
contoh-contohnya.
Saya pribadi
mendapat materi Logika Matematika pada saat kelas X dan di kampus pada semester
1. Tapi ketika saya membaca buku matematika kurikulum 2013, kelihatannya materi
ini sudah dihapus dan tidak akan diajarkan lagi di sekolah. Entah itu saya yang
belum cermat membaca atau memang tidak ada. Saya juga tidak tahu alasan mengapa
materi ini dihapus. Padahal menurut dosen saya, mata kuliah pada semester awal
adalah pondasi untuk belajar di semester selanjutnya, sedangkan materi ini
diajarkan di semester 1. Dari sana saja bisa dilihat betapa pentingnya peran
Logika Matematika untuk memahami materi selanjutnya. Tapi kok dihapus??? Apa
mungkin karena materi ini terlalu mudah??? I don't know.
Pengertian
Logika
Secara
etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang
berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga ilmu pengetahuan.
Dalam arti luas, Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat
memisahkan secara tegas antara penalaran yang tepat dengan penalaran yang tidak
tepat.
Jika kita
membahas logika, kita akan berkenalan dengan penalaran. Penalaran merupakan
penjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal atau lebih
berdasarkan sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakui
kebenarannya dengan langkah-langkah tertentu yang berakhir dengan sebuah
kesimpulan. Dengan kata lain, penalaran dapat diartikan sebagai penarikan
kesimpulan dalam sebuah argumen.
Dalam
Logika, kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaran yang telah kita
lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berpikir dengan tepat, Logika
menawarkan sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus diperhatikan agar
kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat.
Orang yang
pertama kali merintis dan mempelopori Logika adalah Aristoteles, seorang filsafat Yunani
yang hidup pada 348-322 SM. Ia mengobservasi dan mencatat hukum-hukum dari
logika formal, yaitu logika yang kesahihan dari langkah-langkahnya dipandang
hanya berdasarkan bentuk dari rangakaian langkah-langkah itu dan tidak bergantung
pada materi persoalan sehingga berlaku baik di ilmu alam, ilmu kimia, maupun
ilmu-ilmu lain serta dalam kehidupan sehari-hari.
Sebagai
contoh:
Premis 1 :
Semua a adalah b
Premis 2 :
Semua b adalah c
Kesimpulan :
Semua a adalah c
Langkah di
atas menghasilkan sebuah kesimpulan yang tidak tergantung pada isi a, b dan c.
Dengan
mempelajari Logika ini diharapkan kita mempunyai pola berpikir yang tepat,
akurat, rasional, kritis dan obyektif. Selain itu, dengan mempelajari
prinsip-prinsip Logika, ini juga akan membantu kita untuk menjadi lebih efektif
dalam mengenal dan menghindari kesalahan dalam penalaran, baik penalaran yang
dilakukan orang lain, maupun yang dilakukan oleh diri sendiri. Seseorang yang
dapat mengenal dan menghindari kesalahan logika dalam penalaran akan dapat
berpikir yang jelas dan tepat, lebih baik dan lebih yakin, apapun yang mungkin
merupakan pokok persoalan yang akan dihadapi.
Himpunan
Semesta Pembicaraan
Kok ada
himpunan semesta pembicaraan sih? Bukannya kita sekarang sedang belajar Logika
Matematika? Mungkin ada diantara kalian bertanya seperti itu. Mungkin pada
materi di sekolah, hal ini kurang mendapat perhatian. Karena ketika kita sedang
membicarakan matematika, maka kita harus menentukan terlebih dahulu himpunan
semestanya, apalagi untuk Logika Matematika. Sebab benar atau salahnya suatu
pernyataaan memang dapat tergantung pada semestanya yang telah disepakati.
Sebagai
contoh:
"Berapa
x sehingga x + 2 = 12?"
Pasti
kebanyakan kita akan menjawab x = 10.
Yap, benar.
Anda tidak salah. Karena pikiran kita sudah terbentuk bahwa semesta
pembicaraannya adalah semua anggota himpunan bilangan kompleks.
Tapi lain
jawaban jika saya bertanya seperti ini,
"Berapa
x sehingga x + 1 = 12, dengan x adalah anggota bilangan asli kurang dari
5?"
Jika Anda tahu,
silahkan isi jawaban dan alasannya di kolom komentar.
Kalimat =
Pernyataan?
Saya ada
membaca tulisan di blog lain yang menulis bahwa kalimat itu sama seperti
pernyataan. Saya ingin menekankan di sini bahwa itu adalah SALAH.
Tidak semua
kalimat merupakan pernyataan, tetapi semua pernyataan merupakan sebuah kalimat.
Suatu kalimat yang mengandung nilai benar ataupun salah, tetapi tidak
kedua-duanya pada saat yang sama disebut kalimat deklaratif (pernyataan).
Kalimat yang tidak dapat dinyatakan sebagai pernyataan dapat berupa kalimat
perintah, pertanyaan, kalimat yang tidak jelas, atau kalimat yang mempunyai
arti ganda (ambigu).
Sebagai
contoh:
·
Bilangan 7
adalah bilangan prima.
·
Provinsi DKI
Jakarta berpenduduk 1 juta jiwa.
·
Ambilkan OHP
di ruang guru!
·
Astaga!
·
2x + 3 >
x -1
Dari contoh
di atas, kalimat pertama dan kedua adalah contoh pernyataan, dan kalimat
lainnya merupakan kalimat biasa. Untuk kalimat kelima tidak disebut sebagai
sebuah pernyataan karena belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat
yang masih mengandung variabel bisa disebut sebagai kalimat terbuka (bisa
dimasukkan apa saja). Kalimat tersebut akan menjadi sebuah pernyataan jika kita
telah mengganti nilai x dengan suatu bilangan tertentu. Saya kira sampai disini
Anda sudah paham perbedaan kalimat dan pernyataan.
Operasi pada
Logika Matematika
Secara umum,
operasi pada materi Logika matematika ada dua, yaitu operasi uner dan operasi
biner. Sesuai namanya, operasi uner (Monari) adalah operasi yang hanya
berhubungan dengan satu unsur, sedangkan operasi biner (Binari) adalah operasi
yang berhubungan dengan dua unsur. Operasi uner dalam Logika Matematika hanya
ada satu macam, yaitu operasi negasi, dan operasi biner ada empat macam, yaitu
operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi.
Operasi Negasi
Negasi biasa
juga disebut dengan ingkaran. Nilai kebenaran negasi sebuah pernyataan adalah
kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh sebuah pernyataan. Jika
sebuah pernyataan itu bernilai benar, maka negasinya adalah salah, dan begitu
pula sebaliknya. Untuk menyatakan negasi, kita bisa menggunakan kata
"tidak".
Tabel Nilai Kebanaran Operasi Negasi
Sebagai
contoh:
"Pohon
ini tinggi"
Pohon ini
tinggi bisa disimbolkan dengan p, negasinya bisa disimbolkan dengan 
atau 
sehingga
pernyataan negasinya menjadi,
atau sehingga
pernyataan negasinya menjadi,
"Pohon
ini tidak tinggi" atau bisa juga, "Tidak benar bahwa pohon ini
tinggi"
Operasi
Konjungsi
Dalam Logika
Matematika, jika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung
"dan", maka ini disebut sebagai operasi konjungsi. Simbol yang umum
digunakan untuk operasi ini adalah "
"
"
Tabel Nilai Kebenaran Operasi Konjungsi
Kesimpulan :
Operasi konjungsi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai
benar.
Sebagai
contoh:
·
2 adalah
bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai benar
·
2 adalah
bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai salah
·
2 adalah
bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai salah
·
2 adalah
bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai
salah
Operasi Disjungsi
Jika dua
pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "atau", maka ini
disebut sebagai operasi disjungsi. Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini
adalah "
"
"
Kata
"atau" bisa mempunyai dua arti yang berbeda. Jika pernyataan p v q
mempunyai arti p atau q, tetapi tidak kedua-duanya, seperti ini disebut
disjungsi ekslusif. Sedangkan jika pernyataan p v q mempunyai arti p atau q,
atau kedua-duanya, ini disebut disjungsi inklusif (Kalau saya untuk mempermudah
menghapal ini saya ingat saja kata ekslusif yang sama artinya dengan spesial /
tak ada duanya).
Sebagai
contoh:
·
Anto
dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di kota Yogyakarta. (disjungsi
ekslusif)
·
Anto dilahirkan
di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di sebuah rumah sakit swasta. (disjungsi
inklusif)
Tabel Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Ekslusif
Kesimpulan : Operasi disjungsi
ekslusif bernilai benar apabila salah satu pernyataan bernilai benar, tapi
tidak kedua-duanya.
Tabel Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Inklusif
Kesimpulan :
Operasi disjungsi inklusif bernilai benar apabila salah satu pernyataan
tersebut bernilai benar.
Catatan :
Operasi disjungsi yang sering digunakan dalam pelajaran Logika Matematika di
sekolah adalah operasi disjungsi inklusif.
Sebagai contoh:
·
2 adalah
bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, bernilai benar
·
2 adalah
bilangan genap atau 2 adalah bukan bilangan prima, tetap bernilai benar
·
2 adalah
bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, tetap bernilai benar
·
2 adalah
bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, baru bernilai salah
Operasi Implikasi
Jika dua
pernyataan mengandung bentuk "jika ... maka ...", maka ini disebut sebagai
operasi implikasi. Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan operasi ini
adalah "
".
".
Tabel Nilai Kebenaran Operasi Implikasi
Kesimpulan :
Operasi implikasi bernilai benar apabila pernyataan kedua bernilai benar, atau
kedua pernyataan tersebut bernilai sama.
Sebagai
contoh:
·
Jika air
habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
·
Jika air
habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai salah
·
Jika air
tidak habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
·
Jika air
tidak habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai benar
Contoh di
atas saya rasa sudah cukup untuk menjawab pertanyaan "Kenapa jika B maka S
hasilnya S, sedangkan jika S maka B hasilnya B?" Karena belum tentu
penyebab manusia mati hanya karena air habis, kan?
Operasi Biimplikasi
Jika dua
pernyataan mengandung bentuk " ... jika dan hanya jika ...", maka ini
disebut sebagai operasi biimplikasi. Saya lebih suka menyebut hubungan ini
"persyaratan". Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah
"
".
".
Tabel Nilai Kebenaran Operasi Biimplikasi
Kesimpulan :
Operasi biimplikasi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai
sama.
Sebagai
contoh:
·
Jantung
berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, bernilai benar
·
Jantung
berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, ya salah kan?
·
Jantung
tidak berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, salah juga kan?
·
Jantung
tidak berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, baru benar
Syarat manusia hidup adalah jantung
berdetak, dan syarat jantung berdetak adalah manusia hidup. Kedua hal tersebut
tidak dapat dipisahkan satu sama lain. Inilah yang saya maksud dengan hubungan
"persyaratan".
Pernyataan
Berkuantor
Seperti yang
sudah dibahas, 2x + 3 > x -1 adalah kalimat terbuka (yang mengandung
variabel) dan bukan sebuah pernyataan. Untuk mengganti kalimat terbuka tersebut
menjadi sebuah pernyataan, kita harus mengganti variabel (x) yang ada dengan
suatu nilai. Cara lainnya untuk mengganti kalimat terbuka menjadi sebuah
pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Kuantor sendiri dibagi menjadi
dua, yaitu kuantor umum (kuantor universal) dan kuantor khusus (kuantor
eksistensial).
Kuantor Umum (Kuantor Universal)
Untuk
menyatakan kuantor universal, kita bisa menggunakan ungkapan "Untuk
setiap" atau "Untuk semua". Simbol yang umum digunakan untuk
menyatakan kuantor umum adalah A terbalik, "
".
".
Sebagai
contoh:
x > 0
merupakan kalimat terbuka.
Jika saya
ganti menjadi "Untuk setiap x bilangan asli, berlaku x positif (x >0)",
apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Bisa, bukan? Jawabannya adalah
benar karena 1, 2, 3 dst itu selalu lebih besar dari 0. Dan jika bisa ada nilai
kebenarannya, maka ini disebut sebagai pernyataan. Simbol matematikanya adalah
Untuk contoh
pernyataan berkuantor universal yang bernilai salah dapat dilihat apabila saya
ganti pernyataannya dengan, "Untuk setiap x bilangan asli, x > 2".
Kenapa salah? Karena 1 adalah bilangan asli, sedangkan 1 tidak lebih besar
daripada 2. Jadi, tidak semua bilangan asli lebih dari 2 dan dapat disimpulkan
bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.
Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)
Untuk
menyatakan kuantor khusus, kita bisa menggunakan ungkapan "Ada",
"Terdapat", "Paling sedikit satu", atau
"Beberapa". Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan kuantor
khusus adalah E terbalik, "
"
"
Sebagai
contoh:
x > 1
merupakan kalimat terbuka
Jika saya
ganti menjadi "Terdapat x bilangan asli sedemikian sehingga x >
1", apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Sekali lagi bisa. Dan
jawabannya benar karena 2 > 1 sedangkan 2 adalah anggota bilangan asli. Jadi
ini bisa disebut sebagai suatu pernyataan. Simbol matematikanya adalah
Untuk contoh
pernyataan berkuantor eksistensial yang bernilai salah dapat dilihat apabila
saya ganti pernyataannya dengan, "Terdapat x bilangan asli sedemikian rupa
sehingga x < 1". Kenapa salah? Karena tidak ada lagi bilangan asli yang
lebih kecil dari 1. Jadi, tidak terdapat bilangan asli yang kurang dari 1 dan
dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.
Negasi
Pernyataan Berkuantor
Coba kita
melihat pernyataan ini, "Semua manusia pasti mati". Pernyataaan ini
bernilai benar.
Negasi dari
pernyataan ini adalah "Tidak semua manusia pasti mati", ini sama
artinya dengan "Terdapat manusia yang tidak pasti mati". Dan
pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa negasi yang
telah kita buat sudah benar.
Simbol Matematis Negasi Kuantor Universal
Sekarang
coba lihat pernyataan ini, "Terdapat tinggi badan manusia yang kurang dari
120 cm". Pernyataan ini bernilai benar.
Negasi dari
pernyataan ini adalah "Tidak terdapat tinggi badan manusia yang kurang
dari 120 cm", ini sama artinya dengan "Semua tinggi badan manusia
lebih dari 120 cm". Dan pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat
menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat sudah benar.
Simbol Matematis Negasi Kuantor Eksistensial
Kesimpulan: (1) Negasi universal =
eksistensial; dan (2) Negasi eksistensial = universal
1.
Hukum
komutatif
o
p ∧ q ≡ q ∧ p
o
p ∨ q ≡ q ∨ p
2.
Hukum
asosiatif
o
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
o
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
3.
Hukum
distributif
o
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
o
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
4.
Hukum
identitas
o
p ∧ B ≡ p
o
p ∨ S ≡ p
5.
Hukum ikatan
o
p ∧ S ≡ S
o
p ∨ B ≡ B
6.
Hukum negasi
o
p ∧ ~p ≡ S
o
p ∨ ~p ≡ B
7.
Hukum negasi
ganda
o
~(~p) ≡ p
8.
Hukum
idempotent
o
p ∧ p ≡ p
o
p ∨ p ≡ p
9.
Hukum De
Morgan
o
~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
o
~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
10.
Hukum
penyerapan
o
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
o
p ∨ (p ∧ q) ≡ p
11.
Negasi B dan
S
o
~B ≡ S
o
~S ≡ B
Tidak ada komentar:
Posting Komentar